Integral de raíz cuadrada de x^2+1

Integral de √(1 + x²) por sustitución trigonométrica

Enunciado:

\[ \int \sqrt{1 + x^2}\,dx \]

Paso 1: Sustitución trigonométrica

Sea \( x = \tan\theta \) donde \( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \):

\[ dx = \sec^2\theta\,d\theta \quad \text{y} \quad \sqrt{1 + x^2} = \sec\theta \]

Transformando la integral:

\[ \int \sqrt{1 + x^2}\,dx = \int \sec\theta \cdot \sec^2\theta\,d\theta = \int \sec^3\theta\,d\theta \]

Paso 2: Cálculo detallado de \( \int \sec^3\theta\,d\theta \)

Usamos integración por partes:

\[ \text{Sea } u = \sec\theta \quad dv = \sec^2\theta\,d\theta \] \[ du = \sec\theta\tan\theta\,d\theta \quad v = \tan\theta \]

Aplicando \( \int u\,dv = uv - \int v\,du \):

\[ \int \sec^3\theta\,d\theta = \sec\theta\tan\theta - \int \sec\theta\tan^2\theta\,d\theta \]

Sustituimos \( \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 \):

\[ = \sec\theta\tan\theta - \int \sec\theta(\sec^2\theta - 1)\,d\theta \] \[ = \sec\theta\tan\theta - \int \sec^3\theta\,d\theta + \int \sec\theta\,d\theta \]

Agrupamos la integral buscada:

\[ \int \sec^3\theta\,d\theta + \int \sec^3\theta\,d\theta = \sec\theta\tan\theta + \int \sec\theta\,d\theta \] \[ 2\int \sec^3\theta\,d\theta = \sec\theta\tan\theta + \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C \] \[ \int \sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln|\sec\theta + \tan\theta| + C \]

Paso 3: Regreso a la variable original

Relaciones trigonométricas inversas:

\[ \tan\theta = x \quad \text{y} \quad \sec\theta = \sqrt{1 + x^2} \]

Sustituyendo en el resultado:

\[ \int \sqrt{1 + x^2}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left|x + \sqrt{1 + x^2}\right| + C \]

Verificación por derivación

Derivemos el resultado:

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{1 + x^2})\right] \] \[ = \frac{1}{2}\sqrt{1 + x^2} + \frac{x^2}{2\sqrt{1 + x^2}} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} \] \[ = \sqrt{1 + x^2} \quad \text{(Simplificación detallada omitida)} \quad \class{verification}{✅} \]

Conclusión

La integral se resuelve mediante:

• Sustitución trigonométrica \( x = \tan\theta \)
• Integración por partes para \( \sec^3\theta \)
• Sustitución inversa cuidadosa

Resultado final:

\[ \int \sqrt{1 + x^2}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C \]